jueves, 3 de diciembre de 2009

Productos notables

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

A continuación veremos algunas expresiones y del lado derecho de la igualdad, la forma de factorizarlas.

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

Otros casos:

1)

Demostración:

2)

Demostración:

3)

Demostración:

4)

Demostración:

Suma por diferencia

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

EJEMPLOS:

1)

a) El cuadrado del 1er término es (4x)(4x) = 16x2

b) El cuadrado del 2do término es (9y)(9y) = 81y2

Entonces ( 4x + 9y ) ( 4x - 9y ) = 16x2 - 81y2

2)

a) El cuadrado del 1er término es (10x)(10x) = 100x2

b) El cuadrado del 2do término es (12y3)(12y3) = 144y6

Entonces ( 10x + 12y3 ) ( 10x - 12y3 ) = 100x2 - 144y6

Productos notables

Representación gráfica de la regla de factor común

Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar ciertos polinomios de forma directa (sin realizar la multiplicación completa). Tales fórmulas se denominan productos notables y muchas de ellas se refieren a operaciones con binomios. Estos productos suelen ser estudiados con detalle en los primeros cursos de álgebra.

Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

   c (a + b) = c a + c b \,

o realizando la operación:

   \begin{array}{rrr}                &  a & +b \\       \times   &    &  c \\       \hline                & ca & +cb     \end{array}

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).

Ejemplo:

 3x (4x-6y) = (3x)(4x) + (3x)(-6y) = 12x^2 - 18xy \,

martes, 24 de noviembre de 2009

Cuadrado de binomio [editar]

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Elevando un binomio al cuadrado es decir, se multiplica por sí mismo:

   (a + b)^2 = (a + b) \times (a + b) \,

que se puede multiplicar así:

   \begin{array}{rrr}                &    a & +b   \\       \times   &    a & +b   \\       \hline                &  +ab & +b^2 \\            a^2 &  +ab &      \\       \hline            a^2 & +2ab & +b^2    \end{array}